08-09-3高数B期末试卷（A）参及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1. 曲面6d4027ade26e3ed37b0bd8bacd0ecf30.png在点2da483ed15b9b1d1c92a976261c2f00d.png处的法线方程是3814e0d0c83808675bbe154704b388.png；
2. 设fee193b9f14fbda29abfd37ec425c18a.png，则梯度28b3ec433a4d50fac41bf3fb94dcaa07.png；
3. 已知cac37c8c3e5c0e47d5f3c4df262678cb.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png方向的投影f396f2388ae790ef1bc9aaf815d0.png；
4. 设闭曲线6bc37d36a3dcee20338cdde847dd286e.png，取逆时针方向，则曲线积分228cfeba3663ed9ec6dd80f12787.png的值是e907e449af6ebfa819d475273d6d09b7.png；
5. 设函数31d986547f13ac4d6068d10d57ea0188.png具有一阶连续偏导数，则曲线积分270058703d08eff5f7c99c41da18ec98.png与路径无关的充分必要条件是e65aa3b8749a55c2d3231bb15f7aba.png；
6. 二重积分5708fe8d907d981ba1714636e858f5e6.png的值是cfcd208495d565ef66e7dff9f987da.png；
7. 设5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png为球面：8c4d4243b35861d4e075e6016e4938c8.png，则曲面积分e96636ba7c7d5e22c6a56d37db387b68.png的值是244434ef03cb248cc45f2c9c10880e75.png；
8. 设0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png是折线4ff9b0d656df99fef3626dcbd8f62123.png，则曲线积分1179842a8b5b5f4f73de3dafd7e5ec4b.png的值是d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png；
9.取67092a8f30728c8eca068e036c81e452.png（注：答案不唯一），可使得级数92cd12d0de6f939cfa7be3170bbec48c.png收敛，且级数077630ae8a1bf2019788af9355d53d72.png发散.
二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)
10．（本小题满分7分）设fc39b5016d8f55291939daffb9c3ec.png，其中8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png具有连续的二阶偏导数，6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png具有连续导数，计算d3f1f3ce26fe6e4672090632c980be6e.png.
解 7cc973fadcdeebb36c7e042e4ebc9372.png，（3分）f87f5c6ddf436526c9f054ec9d26ba2f.png（4分）
11．（本小题满分7分）计算ff26e42c230f2402128e40a43711df.png，其中b2ed404ea7cf7eab53fe45fcac05992f.png.
解d1828acc860387600bbdcf6a48006fd0.png（1+1+3+2分）
12．（本小题满分8分）计算二次积分7eef0063de1f6f6ad6a34934232d.png.
解，94954d71325ed22d8773c21013a07958.png（3+2+3分）
13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体
的质心坐标.
解 ce3e10c6929f45aabb286169c3995517.png（1分）b706ac47650c834e5ba48e8ae8a0c4de.png
（1+1+2+2+1分）
三（14）．（本题满分7分）试求过点b0b6c65f7a26d6125e12f2d1e54b750d.png且与fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴相交，又与直线387a366fdc023d285cab26619d8e1114.png垂直的直线方程.
解 设e7bc736621d5923e073329943d60.png为所求直线d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png的方程，（1分）由于直线d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png与fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴相交，所以三个向量f48635d99366b0b1efd18508c33e.png，ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png及8ce4b16b22b584aa86c421e8759df3.png共面，从而fb25c7a36af77e903b6ed2f0de6ad765.png，即655fe9f9b1543bfd7b42a8fa4a7db16f.png （1），（2分）
又由于d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png与d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png互相垂直，得ca506274142be3e0bf00e15c1239daa4.png，即263578dbf47fa51d2ad5a21f36bd3d54.png （2）（2分）联立（1），（2）解得c1803ef3208237020e1afeb19066d194.png，d52b69c16a340169c0f1ffa4a8abf0.png，所求直线d20caec3b48a1eef1cb4ca81ba2587.png的方程为e32b3f456ca910465ff050e55abcf1.png（2分）
四（15）。（本题满分7分）计算c136d1868d7749d929908ec7226b4ea3.png，其中5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png是柱面0f12f2efd66e5f091bd2a6650938506d.png被锥面
ab3f2286b3df4b00c695995bb1a952.png和平面ac05f1358cf04f5bdb79abbcf0c145d2.png所截下的部分.
解 c1a7b21c75fa98a1b5f31a4c8a84.png（2分）
7e09fa030e56efe4e90842af29369975.png（2+2+1分）
五（16）. （本题满分7分）计算 47eac1ba092d1abce95453123b9c4f2f.png，其中0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png为曲线
ce703f8da66f81feab60725458d01c8b.png，方向沿415290769594460e2e485922904f345d.png增大的方向.
解 记e8f8b5802e31f448709ff7b0c84783f6.png，由d382816a3cbeed082c9e216e7392eed1.png公式得
121d93e155fa69c5d7caf84e29d61e48.png（2+1+3+1分）
六（17）（本题满分7分）计算0a26a37e1c9a0084fa97bcbe2eaa432e.png，其中5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png为439be15ea06352d48bace5dfa519cbc4.png被8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png所截部分，取上侧.
解 补一个面cec367d01196ce0e11c2b08c2b81fe.png，取下侧，由5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png和e15c0eb40e61adefe95778c26e7840f6.png所围成的区域记为66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png，由edc41fb7bf8bdac012523d1bcd949a4f.png公式得
a2c85344ec1ca8f1ea535c9e26aa60.png（3+2+1+1分）
七（18）（本题满分6分）证明不等式 9d2e8192a5fd852a85e1e4997deb0f77.png，aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png，ebe0001aef8ca31bae5129eddd5b50.png.
证 设20b987c52f304261038885ad0c980c84.png，3baf1600ae50930a155f58ae172b51bd.png在区域c939dc19df807c7c7580fe620d29516a.png的边界上恒为cfcd208495d565ef66e7dff9f987da.png，而在内部恒为正，故8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png的最大值只能在区域内部达到，（2分）令e877ea6934c04de9846d8161d4f0a933.png，
ab296dfd2c9fb725b913a11f7ec0266a.png，在区域c939dc19df807c7c7580fe620d29516a.png内求驻点，得2b2152ffd72907412bb1e1ef2583dc37.png（1）及6de9b7e8e01d05cdad056f3e3d801156.png（2），（2分）这表明3baf1600ae50930a155f58ae172b51bd.png在区域c939dc19df807c7c7580fe620d29516a.png内的最大值点应满足方程（1）（2），然而在（1）（2）所确定的点上7233ef94b0a87883b58366c16ea39b36.png，所以
ec07d9f24b676eeb770f5ae1e72510d6.png，aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png，ebe0001aef8ca31bae5129eddd5b50.png.（2